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Falls die Filme in normalen Windows Media Player nicht laufen,
muss man sich das XviD -Codec   noch herunterladen und installieren

 

Fraktale

Abschnitt 1: Kurze mathematische Einführung

 

Komplexe Zahlen sind zweidimensionale Zahlen, wie Z=x+iy oder C=x+iy .
Wenn man sie multipliziert, muss hauptsächlich beachtet werden, dass   i * i = -1  ist.

 

 

 

Man überzieht die ganze Ebene mit einem Punkte-Raster und benutzt die Komponenten x und y an jeweils einem Punkt als Startwerte für eine Funktion Z=f(Z,C), wenn C konstant gesetzt ist, oder ein neues C für jeden Rasterpunkt, aber Z beim Start konstant. Nach dem Ausrechnen der Funktion benutzt man das Ergebnis als neuen Startwert und berechnet die Funktion erneut, und so immer wieder in der gleichen Schleife, und das am gleichen Punkt, bis zum Abbruch. Dann nimmt sich das Programm den nächsten Punkt vor, bis das Bild gefüllt ist.

Es hängt von den Größen x und y am Rasterpunkt und von der Art der Funktion ab, wo die Zahlenfolge mit der Zeit hinführt.

Nach Einschätzung dieses Verhaltens bekommt der Punkt eine entsprechende Farbe. Hier einfach schwarz, wenn die Zahlen am Punkt nicht nach Unendlich gehen, und weiß, wenn sie es tun. Man kann auch das Tempo des Größerwerdens farblich kodieren:

Gleiche Farbe steht für ähnliches Verhalten.
Der hier schwarz abgebildete Bereich ist oft der Interessantere, weil die Zahlenfolge in ein Muster eingefangen wird. Die Muster zu klassifizieren und in Bildfarbe umzusetzen, ist Sache des Programmierers.


Bild größer  /  Iterationsverfolgung-Script

Die Zahlenfolge kann einem Fixpunkt zustreben, gemeint ist im Beispiel Apfelmännchen der dunkle Bereich, oder zwischen zwei Lösungen hin- und herpendeln, grün markiert, oder auch zwischen drei Lösungen springen und so weiter.

Die Zahlenfolge kann schnell oder langsam in gleichartiges Verhalten übergehen, wieder gezeigt durch gleiche Farbe. Jetzt ergeben sich kreisähnliche Ringe um die Null herum:

 

 

 

Abschnitt 2 : Kompensation für Zyklus und Rhythmus


Ob es überhaupt ein Muster mit scharfen Grenzen gibt, hängt vom Aufbau der iterativen Funktion ab.

Mindestens eine Subtraktion muss in der Funktion vorhanden sein, um durch Kompensation von Teilgrößen in wiederkehrende Zyklen zu gelangen. Man beachte, dass Z und C genauso oft negative Komponenten haben können wie positive. Und wenn Z kleiner als Eins ist, verhält sich Z^2 wie sonst ein 1/(Z^2).

Dort, wo keine Kompensation stattfinden kann, bleiben die typischen selbstähnlichen fraktalen Muster aus.

Um einen Bezug zur Realität zu finden, sollte man mit realen Rückkopplungen vergleichen. Die Addition der festen Größe C in jeder Rechnungsschleife kann auch als fester Emmissions- oder Absorptionsbetrag pro Zeiteinheit aufgefasst werden.
Immer, wenn der addierte Betrag genau passt, um in einer der Rückkopplungen einen früheren Wert exakt wieder zu erreichen, erscheint zyklisches Verhalten im betrachteten Bildpunkt. Trifft ähnliches Verhalten auch auf Nachbarpunkte zu, entstehen Linien oder Flächen gleicher Farbe, die dem gleichen Rhythmus folgen.

Auf Rückkopplungsschaltungen in der Elektrotechnik übertragen, müssen gewisse parallel angeordnete und in Reihe angeordnete Bauelemente zusammenwirken (Invertierungen und Additionen), um einen interessanten Attraktor zu erzeugen. Biosysteme und ihre organischen Strukturen, wie etwa Muskeln, Gefäße und Nerven, sind immer gleichzeitig parallel und in Reihe angeordnet.

Rhythmisches Verhalten ist eine Grundlage von Leben, auch Rhythmen, die uns chaotisch erscheinen, und die erst später oder nie in die Ordnung finden.

Fraktale markieren Gebiete gleichartiger rhythmischer Bewegung infolge passender Absorption. Es geht nicht um maximale oder minimale Absorption, sondern um passende Absorption für stabile Pulsation und Flexibilität.

Zum Film RingFlügelBlume

Dünne Linien sind schmale Zahlenfenster, wie im Frequenzraum die Linien für Absorption oder Emission. Oft schachteln sie sich ineinander, wie einzelne Spektrallinien, die immer feiner aufspalten...

Film RingFlügelBlume
( Vorschau (ohne Ton) Film 720 Pixel breit (24 MB)   
                                   Film schärfer 360Pixel breit (23MB) - bitte nicht vergrößert anschauen,   )

 

Abschnitt 3 : Vielfalt durch Disharmonie mit System


In dem eben gesehenen Fraktal wurde für die dritte Wurzel aus Eins das Newtonverfahren, ein optimales numerisches Lösungsverfahren, benutzt, aber stark verändert. Es wurden absichtlich Fehler eingebaut.

Die Harmonie wurde gestört, der optimale Lösungsvorgang (Bild 1, Muster geht bis Unendlich - Zoom nach außen zeigen) unterlag Beschränkungen, ihm fehlten Freiheitsgrade der Bewegung.

Der schnellste Weg zum Ziel wurde gestört, immer wieder verhindert, bis sich andere Lösungen ergaben, neue Lösungen (Bilder 2-4), die nicht mehr drei große Einzugsbereiche haben, die bis nach Unendlich reichen, sondern viele kleine, in der Nähe von Null bis 5.

Vielfalt folgt aus kleiner Disharmonie in der Nähe von Harmonie.
Leben folgt aus Nichtgleichgewicht in der Nähe von Gleichgewicht.
Auch Flüssigkeiten bewegen sich, wie im Fraktal die Zahlen, im unentschiedenen Zustand zwischen Anziehung und Abstoßung. In Festkörpern ist dafür die Ordnung zu hoch, in Gasen zu niedrig.

 

Hier eine weitere Parallele zum biologischen Leben:
Entwicklung beginnt durch unsymmetrische Verkopplung von Individuen.

Im Folgenden werden (Thema 'Landung') zwei gleiche Fraktalgleichungen, wie Zwillinge,



parallel gerechnet. Eine Gleichung rot dargestellt, die andere blau.

Nun werden diese zahlenmäßig durch den Faktor A gegenseitig miteinander verkoppelt:



In den Fraktalen ergeben sich starke Ähnlichkeiten zu biologischen Formen.

Film 'Landung' Engel (78 sek) (Vorschau herunterladen mit Rechtsklick 12 MB)

Der Verkopplungsbetrag A beginnt bei Null und steigt von Bild zu Bild an. Das ist so, also würden sie näher zusammenrücken, oder als würden sie wachsen und sich gegenseitig stärker beeinflussen. Es ähnelt dem Vorgang der wiederholten Zellteilung.

Wir erzeugen durch den zweiten Zwilling eine Art Schwebungseffekt. Nur zwei fast ähnliche Muster, wie Schwebung bei ähnlichen Frequenzen, können durch Überlagerung ein drittes, charakteristisches Muster hervorrufen, selbst wenn die Muster nur divergentes Verhalten markieren.

Ohne Verkopplung entsteht ein vierzackiger Stern. Ab dem Koppelbetrag von 0.1 tauchen in der Ferne drei neue Bestandteile auf, die sich dem Stern nähern und beim Wert 0.4 mit ihm vereinigen. Das Teil an der Spitze ähnelt einem Hütchen oder einem Raumschiff, die beiden anderen sehen aus wie geflügelte, engelartige Wesen. Der Stern verändert dabei seine Form, reckt sich den landenden Teilen entgegen, bekommt vorübergehend larvenähnliche Umrisse und wird schließlich ein Schmetterling. Dieser bleibt in der Form stabil über einen größeren Bereich, aber er wächst und fällt schließlich auseinander.

Verkoppelt man anders, entstehen auch andere Formen. Das landene Wesen hat hier keine Flügel, sondern ähnelt einer dicken Raupe.

Film Raupe (ca. 10 sek.) (Vorschau herunterladen mit Rechtsklick Kurzfilm1 Kurzfilm2 )

 

optional:
Das Apfelmännchen steht für totale Kompensation auf geradzahligen Muster-Kreuzungen und erscheint auch in ganz anderen Fraktalen immer wieder neu:

Film Stern ('Landung') mit Apfelmännchen (ca. 51 Sek.)
(
Vorschau herunterladen mit Rechtsklick)

(siehe auch Startseiten-Bild auf www.fraktalfilm.de ), oder die vom Apfelmännchen bekannten Doppelspiralen, hier im Flügelmuster, das aus dem Newtonverfahren stammt
(Anfang Abschnitt 3):


Abschnitt 4: Z hoch ZStern

Schädel
Eine noch interessantere verkoppelte Funktion ist folgende Juliamenge

Das gleiche Bild entsteht bei Z = Z^Z* - 1 als Grundgleichung.
Man findet als Bildausschnitt einen Schädel mit Gehörgängen, einer Nase mit 2 Nasenlöchern, Hirnventrikel und Augen mit Pupillen.

 

Film Schädel (ca. 81Sek.) (Vorschau herunterladen (15MB) mit Rechtsklick)

Abgebildet als Farbe ist lediglich die Anzahl der Rechnungschleifen, wann wegen zu großen Zahlen abgebrochen werden musste. Es musste ÜBERALL nach kurzer Zeit (maximal 11 It.) abgebrochen werden. Das genaue Verhalten an jedem Bildpunkt kann nicht mit Standard-Rechentechnik verfolgt werden, die Zahlen werden zu groß. Nur die ersten Iterationen kann man verfolgen.

Der große Schädel entsteht auf der linken Seite, im Bereich der negativen x-Achse. Es gibt noch rechts, auf der positiven x-Achse einen zweiten Schädel um Null bis Zwei herum, dessen Größe sich durch den Zwilling für Verkopplungen unter 1/10 nicht ändert.
Das Ändern der Verkopplung erscheint dort im Umfeld, als ob man Flüssigkeiten durch Röhren pumpt.

Im großen Schädel links entstehen schnell sehr große negative Zahlen, die durch die Verkopplung entweder etwas schneller (blau) oder etwas langsamer (rot) divergieren. Etwa bei Zx=1/A wird das Cx=-1 kompensiert oder verdoppelt, was bereits klare Unterschiede im Divergenzverhalten bringt, die sich hier als Schädelmuster darstellen.

Das additive Cx der Größe Minus Eins ist hier die entscheidende symmetriebrechende Einheit. Setzt man es ganz Null, werden beide 'Hirne' leer und strukturlos.

Mehr Bilder , oder neu (siehe unten) gerechnet mit der Software UltraFractal.

Das Fraktal der genetischen Schwingung wirkt offenbar formbildend auf Zellteilung und Zellausrichtung, ähnlich wie eine Cladnische Klangfigur auf die Anordnung kleiner Partikel.

Sind wir Gottes Bauplan auf der Spur ?

Wir dürfen fragen:
Wo und wie läuft die rückgekoppelte Z hoch Z Stern Minus Eins - Gleichung ab ?
Ist es der Perfekte Holografische Raumwirbel ?

Neue Variante: gemittelte Verkopplung:
http://www.torkado.de/vorschau/mittelZwilling.htm

 


Das Auge

Z = Z * (Z*) + C
mit
Z = x + iy  (normal-Komplex)
Z* = x - iy  (konjugiert-Komplex)
und dem Zwillingsverfahren

http://www.torkado.de/vorschau/zehnIterat.htm

 

 

 

 

Animiertes Bild für Bild Landung-Stern, ausgewertet Zyklen 1 bis 32 (evtl. Seite neu laden, falls keine Veränderung)



A=0.4
Die rote Farbe kennzeichnet nicht-zyklisches (ungeordnetes, also letztendlich chaotisches oder divergentes)
Verhalten (wie außerhalb des Apfelmännchens). Bild Zyklen im Vergleich zum Apfelmännchen

Hier das Gleiche mit dem Stern (A=0)